Cho biểu thức:

\(T = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}\).

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức T.

b) Tìm giá trị của x để T = 0.

c) Tìm giá trị nguyên của x để T nhận giá trị dương.

Lời giải

a) Ta có: x² ‒ 4 = x² ‒ 2² = (x ‒ 2)(x + 2) nên điều kiện xác định của biểu thức \(T\) là:

 x ‒ 2 ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 2; x ≠ ‒2.

b) Ta có: \(T = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}\)

\(\; = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\; = \frac{{{x^3} - {x^2} - 2x - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^3} - {x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\; = \frac{{\left( {{x^3} - 4x} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\; = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = x - 1\)

Suy ra T = 0 khi x ‒ 1 = 0 hay x = 1 (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy x = 1 thì T = 0.

c) Để T > 0 thì x ‒ 1 > 0 hay x > 1.

Kết hợp với x là số nguyên và điều kiện xác định x ≠ 2; x ≠ ‒2, suy ra x ∈ {3; 4; 5;...}.