Cho biết  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ và  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;                                                                

a) Có  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}$

 $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^{x-x_0}-1\right)}{x-x_0}=e^{x_0}$ (do  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x-x_0}-1}{x-x_0}=1$).

Vì y'(x₀) =  $e^{x_0}$ nên y' = (e^x)' = e^x.