Câu hỏi:

06/03/2024 69

b) Cho $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$ . Chứng tỏ A<1

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$

Đặt B $= \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots \dots . + \frac{1}{2012.2013}$

Ta có vì 2 > 1 nên 2.2 > 1.2

Suy ra $\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{2.2} < \frac{1}{1.2}$

Tương tự: $\frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{3.3} < \frac{1}{2.3}$

….

$\frac{1}{2012^{2}} = \frac{1}{2012.2012} < \frac{1}{2011.2012}$

$\frac{1}{2013^{2}} = \frac{1}{2013.2013} < \frac{1}{2012.2013}$

Do đó $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$ $< \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots \dots . +$ $\frac{1}{2011.2012} + \frac{1}{2012.2013}$

Suy ra A < B

Mà B $= \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots \dots . + \frac{1}{2012.2013}$

$= \frac{2 - 1}{1.2} + \frac{3 - 2}{2.3} + \dots$ $+ \frac{2012 - 2011}{2011.2012} + \frac{2013 - 2012}{2012.2013}$

$= \frac{2}{1.2} - \frac{1}{1.2} + \frac{3}{2.3} - \frac{2}{2.3} +$ $\dots + \frac{2012}{2011.2012} - \frac{2011}{2011.2012} +$ $\frac{2013}{2012.2013} - \frac{2012}{2012.2013}$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2012} - \frac{1}{2013}$

$= 1 - \frac{1}{2013} < 1$

Do đó B < 1

Nên A < B < 1

Vậy A < 1.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c) $\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x = \frac{15}{12}$

Xem đáp án » 06/03/2024 83

Câu 2:

Số đối của phân số $\frac{3}{5}$ là:

Xem đáp án » 06/03/2024 63

Câu 3:

Cho hình vẽ. Em hãy khoanh tròn câu đúng

Xem đáp án » 06/03/2024 60

Câu 4:

Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = 3 cm.

a) Điểm M có nằm giữa A và B không? Vì sao?

Xem đáp án » 06/03/2024 59

Câu 5:

Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta phân số:

Xem đáp án » 06/03/2024 53

Câu 6:

Điểm A không thuộc đường thẳng d được kí hiệu là:

Xem đáp án » 06/03/2024 53

Câu 7:

Rút gọn phân số $\frac{- 4}{6}$ ta được:

Xem đáp án » 06/03/2024 52

Câu 8:

Nếu $\frac{x}{5} = \frac{3}{15}$ thì x bằng:

Xem đáp án » 06/03/2024 49

Câu 9:

b) $\frac{6}{7} + \frac{5}{8} : 5 - \frac{3}{16} . {(- 2)}^{2}$

Xem đáp án » 06/03/2024 49

Câu 10:

Tính:

a) F $= \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{108} + \dots + \frac{1}{990}$

Xem đáp án » 06/03/2024 48

Câu 11:

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì:

Xem đáp án » 06/03/2024 47

Câu 12:

Phân số $\frac{11}{5}$ viết dưới dạng hỗn số là:

Xem đáp án » 06/03/2024 47

Câu 13:

Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3}{7} + \frac{- 1}{5} + \frac{- 3}{7}$

Xem đáp án » 06/03/2024 45

Câu 14:

Tìm x, biết:

a) $x + \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$

Xem đáp án » 06/03/2024 44

Câu 15:

c) $\frac{7}{19} . \frac{8}{11} + \frac{7}{19} . \frac{3}{11} + \frac{12}{19}$

Xem đáp án » 06/03/2024 42

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 6 có đáp án (Mới nhất)

14 đề 1022 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán lớp 6 Giữa kì 1 có đáp án

12 đề 656 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 6 KNTT Mở rộng phân số. Phân số bằng nhau có đáp án (Phần 2)

4 đề 321 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 6 KNTT Bài 5: Các bài toán về bội chung, bội chung nhỏ nhất có đáp án

4 đề 317 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 6 Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số có đáp án

4 đề 302 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 6 có đáp án (Mới nhất)

3 đề 297 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 6 CTST Bài 2. Biểu đồ tranh có đáp án

3 đề 282 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 6 KNTT Bài 6: Các dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên có đáp án

5 đề 274 lượt thi Thi thử
Đề thi Cuối học kì 2 Toán 6 có đáp án

3 đề 258 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 6 KNTT Bài 1: Các bài toán về quan hệ chia hết có đáp án

5 đề 257 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Câu hỏi:

b) Cho A=122+132+⋯⋅⋅+120122+120132. Chứng tỏ A<1

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c) 23⁢x+12⁢x=1512

Câu 2:

Số đối của phân số 35 là:

Câu 3:

Cho hình vẽ. Em hãy khoanh tròn câu đúng

Câu 4:

Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = 3 cm. a) Điểm M có nằm giữa A và B không? Vì sao?

Câu 5:

Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta phân số:

Câu 6:

Điểm A không thuộc đường thẳng d được kí hiệu là:

Câu 7:

Rút gọn phân số -46 ta được:

Câu 8:

Nếu x5=315 thì x bằng:

Câu 9:

b) 67+58:5-316.(-2)2

Câu 10:

Tính: a) F=118+154+1108+…+1990

Câu 11:

Nếu ab=cdthì:

Câu 12:

Phân số 115 viết dưới dạng hỗn số là:

Câu 13:

Thực hiện phép tính: a) 37+-15+-37

Câu 14:

Tìm x, biết: a) x+13=512

Câu 15:

c) 719.811+719.311+1219

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

b) Cho $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \cdot \cdot + \frac{1}{2012^{2}} + \frac{1}{2013^{2}}$ . Chứng tỏ A<1

c) $\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x = \frac{15}{12}$

Số đối của phân số $\frac{3}{5}$ là:

Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = 3 cm.

a) Điểm M có nằm giữa A và B không? Vì sao?

Rút gọn phân số $\frac{- 4}{6}$ ta được:

Nếu $\frac{x}{5} = \frac{3}{15}$ thì x bằng:

b) $\frac{6}{7} + \frac{5}{8} : 5 - \frac{3}{16} . {(- 2)}^{2}$

Tính:

a) F $= \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{108} + \dots + \frac{1}{990}$

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì:

Phân số $\frac{11}{5}$ viết dưới dạng hỗn số là:

Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3}{7} + \frac{- 1}{5} + \frac{- 3}{7}$

Tìm x, biết:

a) $x + \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$

c) $\frac{7}{19} . \frac{8}{11} + \frac{7}{19} . \frac{3}{11} + \frac{12}{19}$