Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0, α là một số thực.

a) Tính $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}$ và $a^{\alpha {\log }_{a}b}$

b) So sánh ${\log }_a{b}^{\alpha }$ và $\alpha {\log }_{a}b$

a) Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, ta có:

⦁ Đặt $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=c$ suy ra ${\log }_a{a}^{{\log }_a{b}^{\alpha }}={\log }_{a}c$ hay ${\log }_{a}c={\log }_a{b}^{\alpha },$ do đó $c=b^{\alpha }$

Vậy $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=b^{\alpha }.$

⦁ Đặt $a^{\alpha {\log }_{a}b}=c$  suy ra ${\log }_a{a}^{\alpha {\log }_{a}b}={\log }_{a}c$ hay ${\log }_{a}c=\alpha {\log }_{a}b$

Do đó ${\log }_{a}c={\log }_a{b}^{\alpha }$ nên $c=b^{\alpha }$

Vậy $a^{\alpha {\log }_{a}b}=b^{\alpha }.$

b) Vì $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=b^{\alpha };a^{\alpha {\log }_{a}b}=b^{\alpha }$

Nên $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=a^{\alpha {\log }_{a}b}$

Suy ra ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b.$