Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$  tại điểm $A\left(-1;1\right)$  vuông góc với đường thẳng $d:x-2y+3=0$  . Giá trị $a^2-b^2$  bằng

Hướng dẫn giải

Ta có: $d:x-2y+3=0\iff y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$  nên $k_d=\frac{1}{2}$

Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng –2.

Ta có $y^{\text{'}}=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right)$

Vì điểm $A\left(-1;1\right)$  là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên $x=-1$  là nghiệm của phương trình $2x\left(2a{x}^2+b\right)=-2\Rightarrow -2\left(2a+b\right)=-2\iff 2a+b=1$ .

Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên $a+b+2=1\iff a+b=-1$ .

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ a+b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\right.\Rightarrow a^2-b^2=-5.$

Chọn C.