Biết $\underset{1}{\overset{3}{}}\frac{\left(3x+1\right)dx}{3x^2+x\ln x}=\ln \left(a+\frac{\ln b}{c}\right)$ với a, b, c là các số nguyên dương và $c\le 4$. Tổng a +b +c bằng :

Đáp án D

Đặt $t=\ln x\Rightarrow x=e^t\Rightarrow dx=e^{t}dt$. Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=0\\ x=3\Rightarrow t=\ln 3\end{array}\right.$.

$\Rightarrow \underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{\left(3x+1\right)dx}{3x^2+x\ln x}=\underset{0}{\overset{\ln 3}{\int }}\frac{\left(3e^t+1\right)e^{t}dt}{3e^{2t}+e^{t}t}=\underset{0}{\overset{\ln 3}{\int }}\frac{3e^t+1dt}{3e^t+t}=\underset{0}{\overset{\ln 3}{\int }}\frac{d\left(3e^t+t\right)}{3e^t+t}$

$={\left.\ln \left|3e^t+t\right|\right|}_0^{\ln 3}=\ln \left|9+\ln 3\right|-\ln 3=\ln \frac{9+\ln 3}{3}=\ln \left(3+\frac{\ln 3}{3}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=3\\ c=3\left(tm\right)\end{array}\right.\Rightarrow a+b+c=9$