Biết đồ thị hàm số $y=2x+\sqrt{a{x}^2+bx+4}$  có tiệm cận ngang $y=-1$

Giá trị $2a-b^3$  bằng

Hướng dẫn giải

Điều kiện $a{x}^2+bx+4\ge 0$

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì $a>0$

Khi đó, ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x+\sqrt{a{x}^2+bx+4}\right)=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x+\sqrt{a{x}^2+bx+4}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(a-4\right)x^2+bx+4}{\sqrt{a{x}^2+bx+4}-2x}=-1$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a-4=0\\ \frac{b}{-\sqrt{a-2}}=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=4\\ b=4\end{array}\right.$. Vậy $2a-b^3=-56$

Chọn B.