b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1, y1) ; B(x2, y2) Sao cho biểu thức T = x1^2 + x2^2 - x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1); B(x_2;y_2)$

Trả lời

Hoành độ giao điểm của  và  là nghiệm của pt: $(*)\iff x^2-(2m+1)x+2m=0$

Tính được $\Delta ={(2m-1)}^2$

+) (P) và (d)cắt nhau tại hai điểm phân biệt <=> PT(*) có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff m\ne 2$

+) Khi đó ta có $T=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-3x_1{x}_2={(x_1+x_2)}^2-3x_1{x}_2$

Áp dụng hệ thức vi-et cho phương trình (*) ta có $\left\{{}_{x_1{x}_2=2m}^{x_1+x_2=2m+1}\right.$ Thay vào biểu thức T

$\begin{array}{l}T={(2m+1)}^2-3.2m\\ T=4m^2-2m+1={(2m-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\end{array}$

Lập luận dẫn đến $T_{\min }=\frac{3}{4}$khi $m=\frac{1}{4}$ (TMĐK)