20 Bài tập tính góc giữa hai vectơ (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

Công thức, cách tính góc giữa hai vectơ

1. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ

Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ  đều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ . Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vectơ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho hai vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại khái niệm hai vectơ bằng nhau ở chương 1: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CB = CD.

Ví dụ 2: Cho các vectơ  Tính góc giữa hai vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc giữa hai vectơ  là góc α ∈ [0°;180°] thỏa mãn .

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ . Tính góc giữa hai vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hai vectơ  có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện . Tính góc giữa hai vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì  (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho các vectơ  thỏa mãn . Góc giữa vectơ  và vectơ  là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Cho hình thoi ABCD biết $\widehat{BAD}={120}^o$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

Ta có: AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)   $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$

Mà $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}={120}^o$

$\Rightarrow (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD})={120}^o$

Bài 2: Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=(1;2)$,$\overrightarrow{b}=(-2;5)$  và $\overrightarrow{c}=(-6;3)$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

Ta có:

Bài 3: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 6 và 8, tích vô hướng  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 24. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=24$, $\left|\overrightarrow{a}\right|=6$ và  $\left|\overrightarrow{b}\right|=8$

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{24}{6.8}=\frac{1}{2}$

Góc giữa hai vectơ có số đo từ $0^o$ đến ${180}^o$ $\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={60}^o$.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về hai đường thẳng chéo nhau (có đáp án năm 2024)

70 Bài tập về hai đường thẳng song song (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về hai đường thẳng vuông góc (có đáp án năm 2023)

90 Bài tập về Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách (2024) có đáp án

100 Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có đáp án năm 2023)