100 Bài tập biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (có đáp án năm 2024)

Kiến thức cần nhớ

1. Biến cố

Ở lớp 9 ta đã biết những khái niệm quan trọng sau:

+ Phép thử ngấu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.

+ Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi thực hiện phép thử Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là  .

+ Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Ví dụ 1: Một tổ trong lớp 10A có ba học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung và bồn học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó để kiểm tra vở bài tập. Phép thử ngẫu nhiên là gỉ? Mô tả không gian mẫu.

Giải

Phép thử ngẫu nhiên là chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đẻ kiểm tra vở bài tập.

Không gian mẫu là tập hợp tất cà các học sinh trong tổ.

Ta có  = (Hương; Hồng: Dung; Sơn; Tùng, Hoàng; Tiến).

* Theo định nghĩa, ta thấy mỗi kết quả thuân lợi cho biến cố E chính là một phần tử thuộc không gian mẫu  . Do đó về mặt toán học, ta có:

Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu  . Tập con này là tập tất cae các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Nhận xét: Biến cố chắc chắn là tập  , biến cố không thể là tập  .

Biến cố đối của biến cố E là biến cố "E không xảy ra". Biến cố đối của E được kí hiệu là  .

Nhận xét: Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu  thì biến cố đối  là tập tất cả các phần tử của  mà không là phần tử của E. Vậy biến cố  là phần bù của E trong .

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a) Mô tà không gian mẫu.

b) Gọi M là biến cổ: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lả một số chẵn”. Nội dung biến cố đối  của M là gì?

c) Biến cố M và  là tập con nào của không gian mẫu?

Giải

a) Không gian mẫu  = {1: 2; 3: 4; 5; 6).

b) Biến cố đối  của Mà biến có: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ”

c) Ta có .

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Ta đã biết không gian mẫu  của phép thử T là tập hợp tất cả các kết quả có thể của T, biến có E liên quan đến phép thử T là tập con của  . Vì thế số kết quả có thể của phép thử T chính là số phần tử tập  ; số kết quả thuận lợi của biến cố E chính là số phản tử của tập E. Do đó, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:

Cho phép thử T có không gian mẫu là  . Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cổ liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức

trong đó  và  tương ứng là số phần tử của tập  và tập E.

Nhận xét

+ Với mỗi biến cố E, ta có .

+ Với biến cố chắc chắn (là tập  ), ta có  = 1.

+ Với biến cố không thể (là tập  ), ta có  = 0.

Ví dụ: Hai túi I và II chứa các tấm thẻ được đánh số. Túi I: (1; 2; 3; 4; 6}, túi II: {1; 2; 3; 4}. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi I và II. Tỉnh xác suất để tổng hai số trên hai tấm thẻ lớn hơn 6.

Giải

Mô tả không gian mẫu  bằng cách lập bảng như sau.

Mỗi ô là một kết quả có thể. Có 20 ô, vậy  = 20.

Biến cố E: "Tổng hai số trên hai tắm thẻ lớn hơn 6" xảy ra khi tổng là một trong ba trường hợp

Tổng bằng 7 gồm các kết quả: (3, 4); (4, 3); (5. 2).

Tổng bằng 8 gồm các kết quả: (4, 4); (5, 3).

Tổng bằng 9 có một kết quả: (5, 4).

Vậy biến cố E = ((3, 4); (4, 3); (5, 2); (4, 4); (5, 3); (5, 4)). Từ đó  và 

Chú ý: Trong những phép thử đơn giản, ta đếm số phần tử của tập \Omega và số phần tử của biến cố E bằng cách liệt kê ra tất cả accs phần tử của hai tập hợp này.

3. Nguyên lí xác suất bé

Qua thực tế người ta thấy rằng một biến cố có xác suất rất bé thì sẽ không xảy ra khi ta thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ đó người ta đã thừa nhận nguyên lí sau đây gọi là nguyên lí xác suất bé:

Nếu một biến có có xác suắt rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Chẳng hạn, xác suất một chiếc máy bay rơi là rất bẻ, khoảng 0,00000027. Mỗi hành khách khi đi máy bay đều tin rằng biến cố: "Máy bay rơi" sẽ không xảy ra trong chuyến bay của mình, do đó người ta vẫn không ngân ngại đi máy bay.

Chú ý: Trong thực tế, xác suất của một biến cố được coi là bé phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Chẳng hạn, xác suất một chiếc điện thoại bị lối kĩ thuật là 0,001 được coi là rất bé, nhưng nếu xác suất cháy nỗ động cơ của một máy bay là 0,001 thỉ xác suất này không được coi là rất bé.

Hệ thống bài tập tự luận

Dạng 1. Mô tả biến cố, không gian mẫu

Dạng 2. Mối liên hệ giữa các biến cố

Dạng 3. Xác định không gian mẫu và biến cố

+ Phương pháp 1. Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.

+ Phương pháp 2. Sử dụng các quy tắc đếm, các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.

Dạng 4. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Phương pháp giải

+ Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức. P(A) = n/N.

+ Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức. P(A) = n(A)/n(O) = |OA|/|O|.

Dạng 5. Quy tắc tính xác suất

Bài 1: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi cùng màu”

Lời giải:

Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 viên đỏ” ; X: “lấy được 2 viên xanh” ;

V: “lấy được 2 viên vàng”

Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và C = D ∪ X ∪ V

Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7”

Lời giải:

Ta có : n(Ω)=2⁵

Gọi A: “lấy được vé không có chữ số 2”

B: “lấy được vé số không có chữ số 7”

Suy ra n(A)=n(B)=9⁵ ⇒ P(A)=P(B)=0.9⁵

Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 7 là: 8⁵, suy ra n(A ∩ B)=8⁵

⇒ P(A ∩ B)=0.8⁵

Do X=A ∪ B ⇒ P(X)=P(A)+P(B)-P(A ∪ B)=0.8533.

Bài 3: Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc

Hộp thứ nhất : Có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh , 2 bút màu đen

Hộp thứ hai : Có 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen

Hộp thứ ba : Có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen

Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút

Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được hai bút màu xanh”

Tính xác suất của xác suất B: “Lấy được hai bút không có màu đen

Lời giải:

Gọi X_i là biến cố rút được hộp thứ i , i = 1,2,3 suy ra P(X_i) = 1/3

Gọi A_i là biến cố lấy được hai bút màu xanh ở hộp thứ i, i = 1,2,3

Bài 4: Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Hãy tính xác suất để :

1. Cả hai người cùng bắn trúng ;

2. Cả hai người cùng không bắn trúng;

3. Có ít nhất một người bắn trúng.

Lời giải:

1. Gọi A₁ là biến cố ” Người thứ nhất bắn trúng bia”

A₂ là biến cố ” Người thứ hai bắn trúng bia”

Gọi A là biến cố “cả hai người bắng trúng”, suy ra A = A₁ ∩ A₂

Vì A₁, A₂ là độc lập nên P(A) = P(A₁)P(A₂) = 0.8.0.7 = 0.56

2. Gọi B là biến cố “Cả hai người bắn không trúng bia”.

3. Gọi C là biến cố “Có ít nhất một người bắn trúng bia”, khi đó biến cố đối của B là biến cố C.

Do đó P(C) = 1 – P(D) = 1 – 0. 06 = 0.94.

Bài 5: Có hai xạ thủ I và xạ tám xạ thủ II .Xác suất bắn trúng của I là 0,9 ; xác suất của II là 0,8 lấy ngẫu nhiên một trong hai xạ thủ, bắn một viên đạn .Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích.

Lời giải:

Gọi B₁ là biến cố “Xạ thủ được chọn lọai ,i=1,2

A là biến cố viên đạn trúng đích . Ta có:

P(B₁) = 0.2, P(B₂) = 0.8 và P(A/B₁) = 0.9. P(A/B₂) = 0.8

Nên P(A) = P(B₁) . P(A/B₁) + P(B₂) . P(A/B₂) = 0.2.0.9 + 0.8.0.8 = 0.82

Hệ thống bài tập trắc nghiệm

Xem thêm các dạng bài tập Toán có đáp án và lời giải chi tiết khác:

100 Bài tập biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập về Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án năm 2023)

150 Bài tập phương trình đường thẳng (có đáp án năm 2023)

90 Bài tập về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách (có đáp án năm 2023)

250 Bài tập đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2023)