Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Theo hệ quả định lí sin ta có:

\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\) và \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Ta có sin²A = sinB.sinC.

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}\)

⇔ a² = bc.

Do đó phương án A đúng.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2bc}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số b, c > 0, ta được b² + c² ≥ 2bc.

Do đó ta có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2bc}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{{bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\).

Vì vậy \[\cos A \ge \frac{1}{2}\].

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) và \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

• Ta có \[\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\]

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

\( \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\frac{1}{{2a}}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = \frac{{b + c}}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = b + c\)

\( \Leftrightarrow \frac{{b\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{bc}} = 2\left( {b + c} \right)\)

⇔ a²b + bc² – b³ + a²c + b²c – c³ = 2b²c + 2bc²

⇔ b³ + c³ – (a²b + a²c) + (b²c + bc²) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c²) – a²(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c² – a² + bc) = 0

⇔ (b + c)(b² + c² – a²) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b² + c² = a²

⇔ AC² + AB² = BC²

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\).

Suy ra \({h_a} = \frac{{2S}}{a};\,\,{h_b} = \frac{{2S}}{b};\,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c}\).

Diện tích ∆ABC là:

\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C\).

Suy ra \(\sin A = \frac{{2S}}{{bc}};\,\,\sin B = \frac{{2S}}{{ac}};\,\,\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}\).

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h_a + h_b + h_c

\( \Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ac}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}\)

\( \Leftrightarrow 2S.\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right) = 2S.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}\)

⇔ a² + b² + c² = bc + ac + ab

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (b² – 2bc + c²) = 0

⇔ (a – b)² + (a – c)² + (b – c)² = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right.\)

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right)\).

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} + 1 = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\cot }^2}A + 1 + {{\cot }^2}B} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A.{{\sin }^2}B}}\)

(Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5d, trang 65, Sách giáo khoa, Toán 10, Tập một).

⇔ (sin²A + sin²B)² = 4.sin²A.sin²B

⇔ sin⁴A + 2.sin²A.sin²B + sin⁴B – 4.sin²A.sin²B = 0

⇔ sin⁴A – 2.sin²A.sin²B + sin⁴B = 0

⇔ (sin²A – sin²B)² = 0

⇔ sin²A = sin²B

Theo hệ quả định lí sin, ta được \({\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}\)

⇔ a² = b²

⇔ a = b hay BC = AC.

Vậy ∆ABC cân tại C.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta được:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

Suy ra 70² = 40² + AC² – 2.40.AC.cos45°

Do đó \(A{C^2} - 40\sqrt 2 .AC - 3300 = 0\)

Vì vậy \(AC = 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2 \) hoặc \(AC = - 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2 \).

Vì AC > 0 nên ta nhận \(AC = 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2 \) ≈ 92,3 (m)

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABH vuông tại H có \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}\).

Suy ra \(\widehat {ABH} \approx 11^\circ 19'\).

Ta có CB ⊥ BH (cái cây vuông góc với mặt đất)

Suy ra \(\widehat {CBH} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {CBA} + \widehat {ABH} = 90^\circ \)

Vì vậy \(\widehat {CBA} = 90^\circ - \widehat {ABH} \approx 90^\circ - 11^\circ 19' = 78^\circ 41'\).

∆ABC có \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {CBA}} \right) \approx 180^\circ - \left( {45^\circ + 78^\circ 41'} \right) = 56^\circ 19'\).

∆ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AB² = AH² + BH²

= 4² + 20² = 416

Suy ra AB = \(4\sqrt {26} \) (m)

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\)

Suy ra \(\frac{{BC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4\sqrt {26} }}{{\sin 56^\circ 19'}}\)

Do đó \(BC = \frac{{4\sqrt {26} .\sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ 19'}} \approx 17,33\) (m).

Giá trị này gần với 17,5 (m)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\widehat {CAD} + \widehat {BAD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = 180^\circ - \widehat {CAD} = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ \).

∆ABD có: \(\widehat {BAD} + \widehat {ADB} + \widehat {ABD} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ \).

Áp dụng định lí sin cho ∆ABD, ta được \(\frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{\sin 117^\circ }} = \frac{{24}}{{\sin 15^\circ }}\)

Do đó \(BD = \frac{{24.\sin 117^\circ }}{{\sin 15^\circ }} \approx 82,6\) (m)

∆BCD vuông tại C: \(\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}}\).

Suy ra \(h = CD = BD.\sin \widehat {CBD} \approx 82,6.\sin 48^\circ = 61,4\) (m)

Giá trị này gần với 60,5 m.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAD} = \widehat {BAD} = 50^\circ \)

Do đó \(\widehat {BAC} = 50^\circ - \widehat {CAD} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ \).

∆ABD có: \(\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {ABD} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ADB}} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 90^\circ } \right) = 40^\circ \).

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}\)

Suy ra \[AC = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{5.\sin 40^\circ }}{{\sin 10^\circ }} \approx 18,5\] (m)

∆ACD vuông tại D: \(\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AC}}\).

Suy ra \(CD = AC.\sin \widehat {CAD} \approx 18,5.\sin 40^\circ \approx 11,9\) (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 (m)

Giá trị này gần với 19 m nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAH} = 90^\circ \).

\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \].

Ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\).

∆ABC có \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 105^\circ 30'} \right) = 14^\circ 30'\).

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\)

Suy ra \(AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269,4\) (m)

∆ACH vuông tại H: \(\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}\)

Suy ra \(CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269,4.\sin 30^\circ = 134,7\) (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bài toán trở thành tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp R của ∆ABC.

Nửa chu vi của ∆ABC là:

\[p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{2,56 + 4,18 + 6,17}}{2} = 6,455\] (cm)

Diện tích của ∆ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)} \)

\( = \sqrt {6,455\left( {6,455 - 2,56} \right)\left( {6,455 - 4,18} \right)\left( {6,455 - 6,17} \right)} \)

≈ 4,0375 (cm²).

Ta có \(S = \frac{{AB.BC.AC}}{{4R}}\)

Suy ra \(R = \frac{{AB.BC.AC}}{{4S}} = \frac{{2,56.4,18.6,17}}{{4.4,0375}} \approx 4,088\) (cm).

Vậy bán kính của chiếc đĩa bằng khoảng 4,088 cm.

Do đó ta chọn phương án C.