Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $p = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15$

Diện tích của tam giác là:

$S = \sqrt {p\left( {p - 5} \right)\left( {p - 12} \right)\left( {p - 13} \right)} = \sqrt {15\left( {15 - 5} \right)\left( {15 - 12} \right)\left( {15 - 13} \right)} = 30$.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{a}{{2\sin 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$a² = b² + c² – 2bc.cos120° = b² + c² + bc

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} = 2R$

Suy ra:

+ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} \Rightarrow a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}$. Do đó đáp án A đúng.

+ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin A}}{a}$. Do đó đáp án B đúng.

+ $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R.\sin A$.Do đó đáp án C đúng.

+ $\frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = 2R \Rightarrow \frac{b}{2} = R\sin B \Rightarrow \frac{b}{{2{\mathop{\rm cosB}\nolimits} }} = R\tan B$. Do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức : $S = \frac{1}{2}.bc.\sin A$$= \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ$$= 50\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\sqrt 6 }^2} + {{(\sqrt 3 + 1)}^2} - {2^2}}}{{2.\sqrt 6 .(\sqrt 3 + 1)}}$$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow$$\widehat A$ = 45°.

Do đó : $R = \frac{a}{{2\sin A}}$$= \frac{2}{{2.\sin 45^\circ }}$$= \sqrt 2$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 8$(cm).

Diện tích tam giác ABC là:$S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\left( {c{m^2}} \right)$

Nửa chu vi $p = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12$ (cm)

Suy ra $r = \frac{S}{p} = \frac{{24}}{{12}} = 2$(cm).

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: B

Ta có: a(a² – c²) = b(b² – c²)

⇔ a³ – b³ – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b² – c²) = 0

⇔ a² + ab + b² – c² = 0 (Vì a ≠ b nên a – b ≠ 0)

⇔ a² + b² – c² = – ab

Ta có $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{ - ab}}{{2ab}}$$= - \frac{1}{2}$.

Do đó: $\widehat C$ = 120°.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC ta luôn có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ thức (a + b + c)(a + b – c) = 3ab

⇔ (a + b)² – c² = 3ab

⇔ c² = a² + b² – ab

Suy ra: – 2.cosC = – 1 $\Rightarrow \cos C = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat C = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$

$\Rightarrow \cos \left( {B + C} \right) = \cos \left( {180^\circ - A} \right) = - cosA = - \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \cos A = \frac{1}{5}$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác, ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} } = \sqrt {{7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{1}{5}} = 2\sqrt {15}$.

Đáp án đúng là: A