Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử đường thẳng d₁ có phương trình d₁: y = ax + b

Dễ thấy đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 3) và (– 2; 0). Ta có hệ

$\left\{\begin{array}{l}-3=a.0+b\\ 0=a.(-)2+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=-3\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường thẳng d: y = $-\frac{3}{2}$ x – 3 $\iff$  3x + 2y = – 6

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 2.0 = 0 > – 6. Mà  điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy bất phương trình có dạng 3x + 2y < – 6.

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành: y > 0

Vậy phần không bị gạch trong hình vẽ biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<-6\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vẽ đường thẳng d₁: x + y = – 2. Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (0; – 2) và (– 2; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 > – 2 không thoả mãn bất phương trình x + y < – 2. Vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ và không chứa gốc toạ độ O(0; 0).

Vẽ đường thẳng d₂: 2x – y = 2. Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 < 2 không thoả mãn bất phương trình 2x – y > 2. Vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ và không chứa gốc toạ độ O(0; 0).

Vậy phần không bị gạch trong hình ở đáp án C biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y<-2\\ 2x-y>2\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + 3y = 4 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 4, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 4. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{3}{2}y=4$ đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;\frac{8}{3}\right)$  và (4;0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<4$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<4$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có $S_1\subset S_2$ ; S₁ = S; S₂ S. Vậy $S_1\subset S_2$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vẽ đường thẳng d₁: x – y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1 = – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

x 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Đáp án Đúng là: B

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Là miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + y = 2 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 2, không thoả mãn bất phương trình 2x + y > 2. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O và không kể đường thẳng d₁ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{1}{2}y=1$  đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{1}{2}.0=0<1$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{1}{2}y<1$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O và không kể đường thẳng d₂ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có d₁ trùng d₂ mà miền nghiệm của (1) được chia bởi d₁ và nửa mặt phẳng không chứa O(0; 0) (không kể d₁) ; miền nghiệm của (2) được chia bởi d₂ và nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) (không kể d₂). Vậy $S_1\cap S_2=\varnothing$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vẽ đường thẳng d₁: 2x – 5y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm $\left(0;-\frac{1}{5}\right)$ và  $\left(\frac{1}{2};0\right)$

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 5.0 – 1 < 0 thoả mãn bất phương trình 2x – 5y – 1 < 0.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x – 5y – 1 < 0 là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O không kể bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y + 5 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; – 5) và $\left(-\frac{5}{2};0\right).$

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 0 + 5 > 0 thoả mãn bất phương trình 2x + y + 5 > 0.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x + y + 5 > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O không kể bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y + 1 = 0, đường thẳng d₃ qua hai điểm (0; – 1) và (– 1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 + 1 > 0, không thoả mãn bất phương trình x + y + 1 < 0.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm d₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ không chứa gốc tọa độ O không kể bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Gọi x (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản X và y (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản Y (x, y ≥ 0).

Vì anh Trung đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y nên ta có x + y ≤ 400.

Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng nên ta có x ≥ 100 và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho X nên ta cũng có y ≥ x hay x – y ≤ 0.

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$