Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện.

a) Cho (P): y = ax² + bx + c. Tìm a, b, c biết (P) đi qua điểm A(1; 2) và có đỉnh I(−1; −2).

b) Tìm hàm số y = ax² + bx − 3 biết đồ thị có tọa độ đỉnh là \(I\left( {\frac{1}{2};\; - 5} \right)\).

Lời giải

a) (P) đi qua điểm A(1; 2) nên ta có: a + b + c = 2 (1)

(P) có đỉnh I(−1; −2) nên ta có: a − b + c = −2 (2)

(P) có đỉnh là I(−1; −2) nên \( - \frac{b}{{2a}} = - 1\)

Þ −2a + b = 0 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2\\a - b + c = - 2\\ - 2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 0\\a = b - c - 2\\b = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - a\\a = 3a - 2\\b = 2a\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy a = 1; b = 2; c = −1.

b) (P): y = ax² + bx − 3

Vì (P) có đỉnh là \(I\left( {\frac{1}{2};\; - 5} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\\a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b.\frac{1}{2} - 3 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b\\\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b - 3 = - 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4\\a = 4\end{array} \right.\)

Vậy (P): y = 4x² − 4x – 3.