Với giá trị nào của m để phương trình $4^x-m{.2}^{x+1}+2m+3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=4.$

Xét phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: $2^{2x}-2m{.2}^x+2m+3=0\left(1\right).$

Đặt $2^x=t(t>0),$ khi đó phương trình (1) trở thành: $t^2-2m.t+2m+3=0\left(2\right).$

Phương trình (1) có hai nghiệm là $x_1,x_2$ khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm $t_1,{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}t}}_2$ dương;

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}\ge 0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m-3\ge 0\\ 2m>0\\ 2m+3>0\end{array}\right.\iff m\ge 3.$

Theo định lý Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=2m\\ t_1.t_2=2m+3\end{array}\right..$ Với $t=2^x$ khi đó ta có:

$t_1.t_2=2^{x_1}{.2}^{x_2}\iff 2m+3=2^{x_1+x_2}\iff 16=2m+3\iff m=\frac{13}{2}.$