Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin² x + 2sin 2x + 3acos² x = 2 có nghiệm?

Ta có:

asin² x + 2sin 2x + 3acos² x = 2 

\( \Leftrightarrow a\,.\,\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\,\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\)

Û a(1 − cos 2x) + 4sin 2x + 3a(1 + cos 2x) = 4

Û a − acos 2x + 4sin 2x + 3a + 3acos 2x = 4

Û 2sin 2x + acos 2x = 2 − 2a (*)

Phương trình (*) có nghiệm

Û 4 + a² ≥ (2 − 2a)²

Û 4 + a² ≥ 4 − 8a + 4a²

Û 3a² − 8a ≤ 0

\( \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}\)

Vậy \({a_{\max }} = \frac{8}{3}\).