Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;1) và cắt Ox, Oy tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

Ta có: A, B là giao điểm của d với Ox, Oy nên gọi A (a; 0), B(0; b) (a > 2; b > 1).

Phương trình d theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Do M thuộc d nên ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\left( 1 \right)$

Mặt khác S_OAB = $\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab$

Để diện tích OAB nhỏ nhất thì ab nhỏ nhất

Ta có: $1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{a}.\frac{1}{b}}$ ⇔$\frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4}$⇔ ab ≥8 (2)

Vậy diện tích OAB nhỏ nhất khi ab = 8

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right.$⇔$\left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right.$⇔$\left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right.$⇔$\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ hay x + 2y – 4 = 0.