Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến PA, PB tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ AH vuông góc với đường kính BC. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP

I là giao điểm của PC và AH.

Ta có $\widehat{BAC}=90°$  (BC là đường kính)

 $\Rightarrow \widehat{BAD}=90°$(kề bù) hay $\Rightarrow \widehat{DAP}+\widehat{PAB}=90°$  (1)

∆ABD vuông tại A (cmt) $\Rightarrow \widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90°$  (2)

Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến của (O) nên PA = PB và $\widehat{PAB}=\widehat{PBA}$   (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \widehat{DAP}=\widehat{ADP}$ .

Do đó ∆APD cân tại P

Þ PA = PD, mà PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Þ PD = PB

Lại có DB // AH (^ BC).

Xét △PBC có: IH // PB $\Rightarrow \frac{IH}{PB}=\frac{IC}{PC}$  (4) (định lí Ta-lét).

Tương tự △PCD có: AI // PD $\Rightarrow \frac{AI}{DP}=\frac{IC}{PC}$  (5)

Từ (4), (5)  $\Rightarrow \frac{IH}{PB}=\frac{AI}{DP}\Rightarrow IH=IA$(vì PB = PD).

Vậy PC cắt AH tại trung điểm I của AH.