Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA ^ BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.

Lời giải

a) Ta có:

• AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

• OB = OC (= R).

Þ OA là trung trực của đoạn thẳng BC nên OA ^ BC (1)

b) Vì ∆BCD có cạnh CD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên ∆BCD vuông tại B hay BC ^ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA // BD.

c) Do AB tiếp xúc với (O) tại B nên AB ^ BO

Þ ∆ABO vuông tại B có cạnh huyền AO = 2BO = 4 cm

\( \Rightarrow \widehat A = 30^\circ \), do đó \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Suy ra ∆ABC là tam giác đều đồng thời \(\widehat {BOA} = 60^\circ \).

Trong ∆ABO vuông tại B có cạnh AB đối diện với góc 60° nên:

\(\sin 60^\circ = \frac{{AB}}{{AO}} \Leftrightarrow AB = AO\,.\,\sin 60^\circ = 4\,.\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \,\;\left( {cm} \right)\).