Lời giải
a) Ta có: OB = OD (= R) nên ∆ODB cân tại O.
Mà OC là đường cao của ∆ODB.
Nên OC cũng là đường phân giác của ∆ODB.
⇒ \[\widehat {BOC} = \widehat {COD}\] hay \[\widehat {BOA} = \widehat {AOD}\].
Xét ∆ABO và ∆ADO có:
OB = OD (= R)
\[\widehat {BOA} = \widehat {AOD}\] (chứng minh trên)
Cạnh OA chung
Do đó ∆ABO = ∆ADO (c.g.c)
Suy ra \[\widehat {ABO} = \widehat {ADO} = 90^\circ \].
Do đó AD là tiếp tuyến của (O).
Ta có: \[\widehat {DEB} = \frac{1}{2}\] sđ (1)
Lại có: \[\widehat {BOD}\] = sđ
Mà \[\widehat {BOA}\] = \[\frac{1}{2}\]\[\widehat {BOD}\]
Nên \[\widehat {BOA}\] = \[\frac{1}{2}\] sđ (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {BOA} = \widehat {DEO}\].
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên OA // DE.
b) Vì F thuộc đường tròn đường kính BE nên \[\widehat {BFE} = 90^\circ \]
Xét ∆ABE vuông tại B có: BF là đường cao
Suy ra AE . AF = AB2
Chứng minh tương tự, ta có: AC . AO = AD2.
Mà AB = AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó AB2 = AD2
Suy ra: AE . AF = AC.AO.
c) Vì D thuộc đường tròn đường kính BE nên \[\widehat {BDE} = 90^\circ \].
Ta có: BD là đường cao của ∆BGE; EF là đường cao của ∆BGE.
Mà BD, EF cắt nhau tại H.
Do đó H là trực tâm của ∆BGE.
Suy ra: GH ⊥ BE; AB ⊥ BE
Nên GH // AB.
Xét ∆BIE có: BO = EO (= R); AO // EI (AO // DE).
Do đó AB = AI.