Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD có phương trình x + y − 5 = 0, biết H(−4; 1),  $M\left(\frac{17}{5};12\right)$. Tọa độ đỉnh A là:

*) Phương trình đường phân giác BD: x + y − 5 = 0

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{BD}=\left(1;1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_{BD}=\left(-1;1\right)$

*) Gọi E là điểm đối xứng của H qua BD.

Phương trình đường thẳng EH:

+) Vì EH ^ BD suy ra phương trình EH: −x + y + c = 0

+) H(−4; 1) Î EH Þ −(−4) + 1 + c = 0 Û 5 + c = 0 Û c = −5

Do đó phương trình EH: −x + y − 5 = 0

*) Gọi BD Ç EH = I. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y-5=0\\ -x+y-5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ -x+y=5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow I\left(0;5\right)\Rightarrow E\left(4;9\right)$

*) Phương trình đường thẳng AB đi qua  $M\left(\frac{17}{5};12\right)$ nhận  ${\overrightarrow{n}}_{ME}=\left(3;\frac{3}{5}\right)$ là VTPT là: 

$3\left(x-\frac{17}{5}\right)+\frac{3}{5}\left(y-12\right)=0$

$\iff 3x-\frac{51}{5}+\frac{3y}{5}-\frac{36}{5}=0$

Û 15x + 3y − 87 = 0

*) Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}15x+3y-87=0\\ x+y-5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-1\end{array}\right.\Rightarrow B\left(6;-1\right)$

Mà  $M\left(\frac{17}{5};12\right)$ là trung điểm của AB nên ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_A=2.\frac{17}{5}-6\\ y_A=2.12+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{4}{5}\\ y_A=25\end{array}\right.\Rightarrow A\left(\frac{4}{5};25\right)$

Vậy  $A\left(\frac{4}{5};25\right)$.