Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(–1;1), B(1;3) và trọng tân là G\(\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.

Gọi C(x_C; y_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\]

Hay: \[\left\{ \begin{array}{l} - 2 = \frac{{\left( { - 1} \right) + 1 + {x_C}}}{3}\\\frac{2}{3} = \frac{{1 + 3 + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\]

Suy ra: C(–6;–2)

Do M thuộc Oy nên M(0;y)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {1;3 - y} \right)\)

\(\overrightarrow {MC} = \left( { - 6; - 2 - y} \right)\)

Để tam giác MBC vuông tại M thì \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 0\)

⇔ 1(–6) + (3 – y)(–2 – y) = 0

⇔ y² – y – 12 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = - 3\end{array} \right.\)

Vậy M(0; 4) hoặc M(0; –3).