Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow a = \left( { - 3;1} \right),\overrightarrow b = \left( {2;6} \right);$

b) $\overrightarrow a = \left( {3;1} \right),\overrightarrow b = \left( {2;4} \right);$

c) $\overrightarrow a = \left( { - \sqrt 2 ;1} \right),\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right).$

Lời giải

a) Với $\overrightarrow a = \left( { - 3;1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {2;6} \right)$ ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - 3} \right).2 + 1.6 = 0$.

$\Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ .$

b) Với $\overrightarrow a = \left( {3;1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {2;4} \right)$ ta có:

• $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;$

• $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5$;

• $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10$;

$\Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .$

c) Với $\overrightarrow a = \left( { - \sqrt 2 ;1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right)$ ta có:

• $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ;$

• $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6$;

• $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - \sqrt 2 } \right).2 + 1.\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 3\sqrt 2$.

 $\Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = - 1$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ .$