Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = $- \frac{1}{2}$x² và đường thẳng (d) y = mx + m – 3(với m là tham số).

a) Khi m = –1, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức x₁² + x₂² = 14.

Lời giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm:

$- \frac{1}{2}{x^2} = mx + m - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m - 6 = 0$ (1)

Khi m = −1, phương trình (1) trở thành:

${x^2} - 2x - 8 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \Rightarrow y = - 8\\x = - 2 \Rightarrow y = - 2\end{array} \right.$

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm có tọa độ là (4; –8); (–2; 2)

b) Ta có $\Delta \prime = {m^2} - 2m + 6 = {(m + 1)^2} + 5 > 0;\forall m$.

Do đó m = −1 có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Hay (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.$

$x_1^2 + x_2^2 = 14 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 14$

$\Leftrightarrow 4{m^2} - 2(2m - 6) = 14$

$\Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 2 = 0 \Rightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2}$.