Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(2; 1) và đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0. Ảnh của d qua Q(I; 45°) là

A. $-x+5y-2+3\sqrt{2}=0$

B. $-x+5y-3+10\sqrt{2}=0$

C. $x-5y+3+\sqrt{2}=0$

D. $-x+5y-3+11\sqrt{2}=0$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Với mọi điểm M(x; y) ∈ d ta có Q_{(I; 45°)}(M) = M’(x’; y’) ∈ d’

Với I(2; 1) ta có biểu thức tọa độ

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}-2=\left(x-2\right)\cdot \text{cos}45°-\left(y-1\right)\text{sin}45°=\left(x-2\right)\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(y-1\right)\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y^{\text{'}}-1=\left(x-2\right)\cdot \text{sin}45°+\left(y-1\right)\text{cos}45°=\left(x-2\right)\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(y-1\right)\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x-y=1-2\sqrt{2}+\sqrt{2}x\\ x+y=3-\sqrt{2}+\sqrt{2}{y}^{\text{'}}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=2-\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}{x}^{\text{'}}+\frac{1}{\sqrt{2}}{y}^{\text{'}}\\ y=1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}{x}^{\text{'}}+\frac{1}{\sqrt{2}}y,\end{array}\right.$

Thay x, y vào phương trình đường thẳng d ta được d’

 $2\left(2-\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}+\frac{1}{\sqrt{2}}y\text{'}\right)+3\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}+\frac{1}{\sqrt{2}}y\text{'}\right)+4=0$

 $\iff 4-3\sqrt{2}+\sqrt{2}x\text{'}+\sqrt{2}y\text{'}+3+\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{2}}x\text{'}+\frac{3}{\sqrt{2}}y\text{'}+4=0$

 $\iff 11-\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}+\frac{5}{\sqrt{2}}y\text{'}=0$

 $\iff -x+5y-3+11\sqrt{2}=0$

Vậy ta chọn đáp án D.