Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z+5=0$; $\left(Q\right):x+y+z+1=0;\left(R\right):x+y+z+2=0$. Ứng với mối cặp A, B lần lượt thuộc 2 mặt phẳng (P), (Q) thì mặt cầu đường kính (P) , (Q) luôn cắt (R) tạo thành 1 đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.

Nhận xét rằng $\left(P\right)//\left(Q\right)//\left(R\right)$ và (R) nằm chính giữa (P) , (Q).

Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB, khi đó $I\in \left(\alpha \right):x+y+z+3=0$.

Gọi r; r' lần lượt là bán kính mặt cầu đường kính AB và bán kính đường tròn giao tuyến, khi đó ta có $r^2={\left(r^{\text{'}}\right)}^2+{\left[d\right(I;\left(R\right)\left)\right]}^2$. Mà $d(I;(R\left)\right)=d\left(\right(\alpha );(R\left)\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow r^2={\left(r^{\text{'}}\right)}^2+\frac{1}{3}$ Vậy r nhỏ nhất khi và chỉ khi  nhỏ nhất. Ta có $r_{\min }=I{A}_{\min }=d\left(\right(\alpha );(P\left)\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Vậy $r^{\text{'}}\min =1$.