Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua hai điểm M(1;8;0), C(0;0;3) cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất, với G(a;b;c) là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tính T = a + b + c có giá trị bằng

Giả sử điểm $A(m;0;0),B(0;n;0)$ với m > 0, n > 0.

Do đó phương trình mặt phẳng $\left(\text{P}\right):\frac{\text{x}}{\text{m}}+\frac{\text{y}}{\text{n}}+\frac{\text{z}}{3}-1=0$.

Theo giả thiết G(a;b;c) là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow \text{m}=3\text{a},\text{n}=3 \text{b},\text{c}=1$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;8;0) nên $\frac{1}{ \text{m}}+\frac{8}{\text{n}}-1=0\Rightarrow \text{m}=\frac{\text{n}}{\text{n}-8}$, với n > 8.

Vì OG nhỏ nhất nên $\text{P}={\text{a}}^2+{\text{b}}^2+{\text{c}}^2=\frac{{\left(\frac{\text{n}}{\text{n}-8}\right)}^2}{9}+\frac{{\text{n}}^2}{9}+1$ đạt GTNN.

Đặt $f\left(n\right)=\frac{{\left(\frac{n}{n-8}\right)}^2}{9}+\frac{n^2}{9}+1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(n\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{-2n}{n-8}\cdot \frac{8}{{(n-8)}^2}+2n\right)$.

Ta có ${\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{n}\right)=0\iff \text{n}=10$ ( thỏa mãn). Xét dấu đạo hàm ta được  thì  và $\text{m}=5,\text{a}=\frac{5}{3}$, $\text{b}=\frac{10}{3}$. Vậy $\text{T}=\text{a}+\text{b}+\text{c}=6$.