Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2; – 1), B(2; –1; 3), C(– 4; 7; 5). Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc $\widehat B$ của tam giác ABC.

Gọi D là chân đường phân giác trong góc $\widehat B$ của tam giác ABC

Ta có: $\overrightarrow {DA} = \frac{{ - BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC}$

AB = $\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26}$

BC = $\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {2^2}} = \sqrt {104}$

Suy ra: $\overrightarrow {DA} = \frac{{ - \sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC}$ ⇒ $\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA}$

Gọi D (x;y;z)

Từ $\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA}$ suy ra:

$\left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array} \right.$

Vậy tọa độ chân đường phân giác góc $\widehat B$ là $D\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)$.