Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2; – 1), B(2; –1; 3), C(– 4; 7; 5). Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc \(\widehat B\) của tam giác ABC.

Gọi D là chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác ABC

Ta có: \(\overrightarrow {DA} = \frac{{ - BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC} \)

AB = \(\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \)

BC = \(\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {2^2}} = \sqrt {104} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {DA} = \frac{{ - \sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC} \) ⇒ \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \)

Gọi D (x;y;z)

Từ \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \) suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ chân đường phân giác góc \(\widehat B\) là \(D\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)\).