Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(-1;2;0),B(2;-3;2)$. Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB và Ax là tiếp tuyến của (S) tại A; By là tiếp tuyến của (S) tại B và $Ax\perp By$. Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax, By sao cho MN là tiếp tuyến của (S). Tính AM.BN.

A. $AM.BN=48$. 

Giả sử (S) tiếp xúc với MN tại O. Theo tính chất tiếp tuyến, ta có

$AM=MO,BN=NO\text{ và }\left\{\begin{array}{l}AB\perp AM\\ BN\perp AM\end{array}\Rightarrow AM\perp \left(ABN\right)\Rightarrow AM\perp AN\right.\text{. }$

Theo định lí Pitago, ta có $\left\{\begin{array}{l}MN=MO+ON=AM+BN\\ M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2=A{M}^2+A{B}^2+B{N}^2\end{array}\right.$

Do đó ${(AM+BN)}^2=A{M}^2+A{B}^2+B{N}^2$

Suy ra $AM.BN=\frac{A{B}^2}{2}=\frac{3^2+5^2+2^2}{2}=19$.