Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=1+3a+at\\ y=-2+t\\ x=2+3a+(1+a)t\end{array}\right.$. Biết rằng khi a thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua điểm M(1;1;1) và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$. Tìm bán kính mặt cầu đó.

Từ đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=1+3a+at\\ y=-2+t\\ x=2+3a+(1+a)t\end{array}\Rightarrow x+y-z+3=0\right.$

Ta có $\Delta$ luôn qua điểm A(1;-5;-1) cố định và $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $\left(\text{P}\right):\text{x}+\text{y}-\text{z}+3=0$ 

Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ với mọi a. Nên mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P) tại A.

Đường thẳng IA qua A và vuông góc (P) có phương trình $\left\{\begin{array}{l}\text{x}=1+\text{t}\\ \text{y}=-5+\text{t}\\ \text{z}=-1-\text{t}\end{array}\Rightarrow \text{I}(1+\text{t};-5+\text{t};-1-\text{t})\right.$

Mà $IA=IM\iff t^2+t^2+t^2=t^2+{(t-6)}^2+{(t+2)}^2\iff t=5$ vậy $I(6;0;-6)\Rightarrow R=IM=5\sqrt{3}$. Chọn A