Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\text{d}:\frac{\text{x}-1}{-1}=\frac{\text{y}}{2}=\frac{\text{z}+3}{-1}$ và mặt cầu (S) tâm I có phương trình $\left(\text{S}\right):{(\text{x}-1)}^2+{(\text{y}-2)}^2+{(\text{z}+1)}^2=18$. Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm A, B. Tính diện tích tam giác IAB.

Đường thẳng d đi qua điểm $\text{C}(1;0;-3)$ và có vectơ chi phương $\overrightarrow{\text{u}}=(-1;2;-1)$. Mặt cầu (S) có tâm $\text{I}(1;2;-1)$, bán kính $R=3\sqrt{2}$. Gọi H là hình chiêu vuông góc của I lên đường thẳng d.

Khi đó: $\text{IH}=\frac{\left|\right[\overrightarrow{\text{IC}},\overrightarrow{\text{u}}\left]\right|}{\left|\overrightarrow{\text{u}}\right|}$, với $\overrightarrow{\text{IC}}=(0;-2;-2);2\text{x}+\text{y}-3\text{z}-4=0$

$\text{IH}=\frac{\sqrt{6^2+2^2+2^2}}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{\sqrt{66}}{3}$, suy ra $\text{HB}=\sqrt{18-\frac{22}{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$.