Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt phẳng $\left(\text{ABC}\right):\frac{\text{x}}{2}+\frac{\text{y}}{4}+\frac{\text{z}}{6}=1\iff 6\text{x}+3\text{y}+2\text{z}-12=0$

Gọi $N(x;y;z)$. Theo già thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$ suy ra $\overrightarrow{\text{OM}}=\frac{12}{{\text{ON}}^2}\cdot \overrightarrow{\text{ON}}$. Do đó $\text{M}\left(\frac{12\text{x}}{{\text{x}}^2+{\text{y}}^2+{\text{z}}^2};\frac{12\text{y}}{{\text{x}}^2+{\text{y}}^2+{\text{z}}^2};\frac{12\text{z}}{{\text{x}}^2+{\text{y}}^2+{\text{z}}^2}\right)$.

Mặt khác $M\in \left(ABC\right)$ nên $6\frac{12x}{x^2+y^2+z^2}+3\frac{12y}{x^2+y^2+z^2}+2\frac{12z}{x^2+y^2+z^2}-12=0$

$\iff 6x+3y+2z-\left(x^2+y^2+z^2\right)=0\iff x^2+y^2+z^2-6x-3y-2z=0$

Do đó điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x-3y-2z=0$ có tâm