Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(2;3;4). Một mặt cầu (S) có bán kính R luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(2;3;4). Một mặt cầu (S) có bán kính R luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn AB luôn nằm trong (S) (Mọi điểm thuộc đoạn AB đều nằm trong (S)). Giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là

Trả lời

+ Gọi tâm mặt cầu là I ( a;b;c).

+ Mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ nên $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|=R\left(1\right)$

+ Vì hai điểm A( 1;2;3) và B( 2;3;4) có tọa độ dương và đoạn $A B$ luôn nằm trong (S) nên $a=b=c=R$

$+\Rightarrow I(R;R;R)$.

+ Đoạn AB luôn nằm trong

$\left(S\right)\leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}IA<R\\ IB<R\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{(1-R)}^2+{(2-R)}^2+{(3-R)}^2<R^2\\ {(2-R)}^2+{(3-R)}^2+{(4-R)}^2<R^2\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2R^2-12R+14<0\\ 2R^2-18R+29<0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3-\sqrt{2}<R<3+\sqrt{2}\\ \frac{9-\sqrt{23}}{2}<R<\frac{9+\sqrt{23}}{2}\end{array}\iff \frac{9-\sqrt{23}}{2}<R<3+\sqrt{2}\right.\right.$

+ Vi $R\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow R\in \{3;4\}$.

+ Vậy giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là 4 .

Chọn D