Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;-2;4), B ( -3;3;-1) và mặt phẳng  $\left(P\right):2x-y+2z-8=0$. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của $2M{A}^2+3M{B}^2$ bằng bao nhiêu?

Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, suy ra $I(-1;1;1)$.

Khi đó ta có:

$2M{A}^2+3M{B}^2=2{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})}^2+3{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})}^2=5M{I}^2+2I{A}^2+3I{B}^2$

Do I, A, B cố định nên $2M{A}^2+3M{B}^2$ nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, mà điểm M di động trên mặt phẳng (P) nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P). Khi đó ta có $\min MI=d(I,(P\left)\right)=3$

Do đó $\min \left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)=5.9+2.27+3.12=135$.