Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2+t\\ z=2t\end{array}\right.$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+z-1=0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua điểm A( 1;2;5) , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng $∆$ là $\frac{x-1}{a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-5}{c}$ . Tính $a+b+c$ .

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d và $∆$ thì $M(2;2+t;2t)$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=(1;t;-5+2t)$ là véc tơ chì phương của đường thẳng $∆$.

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có véc tơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}=(2;1;1)$.

Vì $\Delta //\left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0\iff 2+t-5+2t=0\iff t=1$. Vậy $\overrightarrow{AM}=(1;1;-3)$.

Vậy phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm A( 1;2;5) là: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-5}{-3}$.

Suy ra $a+b+c=1+1+(-3)=-1$.