Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và bán kính R = 3.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, khi đó H là trung điểm đoạn EF.

Ta có $EF=2EH=2\sqrt{R^2-{\left(d\right(I,d\left)\right)}^2}$. Suy ra EF lớn nhất khi d(I,d) nhỏ nhất

Đường thẳng d qua A(1;-1;m) và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{\text{u}}=(1;1;2)$.

Ta có $\overrightarrow{AI}=(0;2;2-m),[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}]=(2+m;2-m;-2)$. Suy ra $d(I,d)=\frac{\left[\right[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}]\mid }{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{2m^2+12}}{\sqrt{1+1+4}}\ge \sqrt{2}$.