Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm A (1; −4), B (4; 5) và C (0; −9). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|+3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ . Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng $a\sqrt{b}$  , trong đó a,b là các số nguyên dương a, b < 20. Tính a – b.

Gọi M (m; 0) di chuyển trên trục Ox.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{MA}=\left(1-m;-4\right)\\ \overrightarrow{MB}=\left(4-m;5\right)\\ \overrightarrow{MC}=\left(-m;-9\right)\end{array}\right.$.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(9-3m;6\right)\\ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(4-2m;-4\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow Q=2\sqrt{{\left(9-3m\right)}^2+6^2}+3\sqrt{{\left(4-2m\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(6m-18\right)}^2+{12}^2}+\sqrt{{\left(12-6m\right)}^2+{12}^2}$

$\Rightarrow Q>\sqrt{{\left(18-6m+6m-12\right)}^2+{\left(12+12\right)}^2}=6\sqrt{17}$

$\Rightarrow a\sqrt{b}=6\sqrt{7}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=6\\ b=17\end{array}\right.$

Vậy a – b = 6 – 17 = – 11.