Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục trung?

A. y = sinx . cos2x

B. $y = {\sin ^3}x.cos\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)$

C. $y = \frac{{\tan x}}{{{{\tan }^2} + 1}}$

D. y = cosx . sin³x.

Đáp án đúng là: B

Hàm số lẻ thì đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Hàm số chẵn thì đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng

+) Xét hàm số y = sinx . cos2x

Tập xác định D = R

Ta có f(–x) = sin(–x) . cos (–2x) = – sinxcos2x

Suy ra f(–x) = – f(x)

Do đó hàm số này là hàm số lẻ (loại)

+) Xét hàm số $y = {\sin ^3}x.cos\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^3}x.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = {\sin ^4}x$

Tập xác định D = R

Ta có g(–x) = sin⁴(–x) = (–sinx)⁴ = sin⁴x

Suy ra g(–x) = g(x)

Do đó hàm số này là hàm số chẵn

Vậy ta chọn đáp án B.