Tổng các nghiệm của phương trình 2cos 3x(2cos 2x + 1) = 1 trên đoạn [−4π; 6π].

Ta có: 2cos 3x(2cos 2x + 1) = 1

Û 4cos 3x.cos 2x + 2cos 3x = 1

Û 2(cos 5x + cos x) + 2cos 3x = 1

Û 2cos 5x + 2cos x + 2cos 3x = 1 (*)

Ta nhận thấy x = kp không phải nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: (*) Û 2sin x(cos x + cos 3x + cos 5x) = sin x

Û 2sin x.cos x + 2sin x.cos 3x + 2sin x.cos 5x = sin x

Û sin 2x + sin 4x − sin 2x + sin 6x − sin 4x = sin x

Û sin 6x = sin x

$\iff \left[\begin{array}{l}6x=x+k2\pi \\ 6x=\pi -x+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{k2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{7}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\right.$

Xét trên chu kì từ [0; 2p] ta có các nghiệm (loại đi nghiệm x = kp)

 $x\in \left\{\frac{2\pi }{5};\frac{4\pi }{5};\frac{6\pi }{5};\frac{8\pi }{5};\frac{\pi }{7};\frac{3\pi }{7};\frac{5\pi }{7};\frac{9\pi }{7};\frac{11\pi }{7};\frac{13\pi }{7}\right\}$

Tổng các nghiệm này trên đoạn [0; 2π] bằng 10p.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn [−4π; 6π] là:

5.10p + (−2 − 1 + 0 + 1 + 2).2p = 50p.