Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 trên $\left[ {0;2\pi } \right].$

A. $\begin{array}{l}T = 3\pi .\\\end{array}$

B. $T = \frac{5}{2}\pi .$

C. $T = 2\pi .$

D. $T = \pi .$

Ta có

$\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi }\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.$

Vì $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$suy ra

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2\pi }\\{0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 2\pi }\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{11}}{4} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}}\\{ - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow k \in \left\{ 0 \right\}}\end{array}} \right.$

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$là $\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2} \to T = 3\pi .$

Đáp án cần chọn là: A