Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 trên \[\left[ {0;2\pi } \right].\]

A. \[\begin{array}{l}T = 3\pi .\\\end{array}\]

B. \[T = \frac{5}{2}\pi .\]

C. \[T = 2\pi .\]

D. \[T = \pi .\]

Ta có

\[\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

Vì \[x \in \left[ {0;2\pi } \right]\]suy ra

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2\pi }\\{0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{11}}{4} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}}\\{ - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow k \in \left\{ 0 \right\}}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn \[\left[ {0;2\pi } \right]\]là \[\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2} \to T = 3\pi .\]

Đáp án cần chọn là: A