Lời giải

Ta có n(3n – 1) = 3n² – n

Với n = 1 ta có 1 . 2 = 3 . 1² – 1

Với n = 2 ta có 2 . 5 = 3 . 2² – 2

Với n = 3 ta có 3 . 8 = 3 . 3² – 3

....

Với n = n ta có n(3n – 1) = 3n² – n

Cộng vế các đẳng thức ta được

1 . 2 + 2 . 5 + 3 . 8 + ....... + n(3n – 1) = 3(1² + 2² + ... + n²) – (1 + 2 + ... + n)

⇔ S_n = \(3.\frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{6} - \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

⇔ S_n = \(\frac{{n(n + 1)}}{2}.\left( {\frac{{n + 2}}{2} - 1} \right) = {n^2}(n + 1)\)

Vậy S_n = n²(n + 1).