Tính tổng min và max của hàm số: y = căn bậc hai (2 + x) + căn bậc hai (2 - x)+ 2
Tính tổng min và max của hàm số: \[y = \sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \].
Tính tổng min và max của hàm số: \[y = \sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \].
ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2.
Đặt \(\sqrt {x + 2} = a;\sqrt {2 - x} = b\) (a, b ≥ 0).
\( \Rightarrow \) a2 + b2 = 4.
Ta có: y = a + b + 2ab.
• Tìm min:
\(y = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} + 2ab = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab} + 2ab\)\( = \sqrt {4 + 2ab} + ab\).
Vì a, b ∈ [0; 2] ⇒ ab ≥ 0.
\( \Rightarrow \)\[y \ge \sqrt {4 + 0} + 0 \Leftrightarrow y \ge 2\].
Vậy ymin = 2 ⇔ ab = 0 ⇔ x = ± 2.
• Tìm max:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow y \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\) (1)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
⇔ (a + b)2 ≤ 8 \( \Rightarrow a + b \le 2\sqrt 2 \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow y \le 2\sqrt 2 + \frac{8}{2} = 4 + 2\sqrt 2 \)
Do đó ymax \( = 4 + 2\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra khi a = b \( \Leftrightarrow \sqrt {2 + x} = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy ymax + ymin =\(2 + 4 + 2\sqrt 2 = 6 + 2\sqrt 2 \).