Tính tổng:

F = 1² + 2² + 3² + … + n².

F = 1² + 2² + 3² + … + n²

= 1 + (1 + 1).2 + (1 + 2).3 + … + (1 + n − 1).n

= 1 + 2 + 1.2 + 3 + 2.3 + … + n + (n − 1).n

= (1 + 2 + 3 + … + n) + [1.2 + 2.3 + … + (n − 1).n]

Đặt A = 1 + 2 + 3 + … + n

$\Rightarrow A=\frac{\left(n+1\right).n}{2}$ (1)

Đặt B = 1.2 + 2.3 + … + (n − 1).n

Þ 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + … + (n − 1).n.3

3B = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + … + (n − 1).n.[(n + 1) − (n − 2)]

3B = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + … + (n − 1).n.(n + 1) − (n − 2).(n − 1).n

3B = (n − 1).n.(n + 1)

$\Rightarrow B=\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow F=\frac{\left(n+1\right).n}{2}+\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}$.