Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.\)

ĐK: x > 0.

\(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3\)

⇔ \(\log _2^2x - {\log _2}{3^2}.{\log _3}x = 3\)

⇔ \(\log _2^2x - 2{\log _2}3.{\log _3}x = 3\)

⇔ \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - 3 = 0\) (*)

Đặt t = log₂x. Khi đó ta có:

(*) ⇔ \({t^2} - 2t - 3 = 0\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3}\\{t = - 1}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 3}\\{{{\log }_2}x = - 1}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {2^3} = 8\left( {tm} \right)}\\{{x_2} = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

⇒ \({x_1} + {x_2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{2}.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3\) là \(\frac{{17}}{2}.\)