Tính tổng các nghiệm của phương trình $\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.$

ĐK: x > 0.

$\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3$

⇔ $\log _2^2x - {\log _2}{3^2}.{\log _3}x = 3$

⇔ $\log _2^2x - 2{\log _2}3.{\log _3}x = 3$

⇔ $\log _2^2x - 2{\log _2}x - 3 = 0$ (*)

Đặt t = log₂x. Khi đó ta có:

(*) ⇔ ${t^2} - 2t - 3 = 0$ ⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3}\\{t = - 1}\end{array}} \right.$

⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 3}\\{{{\log }_2}x = - 1}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {2^3} = 8\left( {tm} \right)}\\{{x_2} = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.$

⇒ ${x_1} + {x_2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{2}.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình $\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3$ là $\frac{{17}}{2}.$