Tính giá trị nhỏ nhất của \(A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)với a, b, c > 0 và \(a + b + c = 3abc\)

Từ điều kiện \(a + b + c = 3abc \Rightarrow A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{{ab + bc + ac}}{{abc}} = \frac{{3\left( {ab + bc + ac} \right)}}{{a + b + c}}\) (1)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM

\(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {ab + bc + ac} \right)^2} \ge 3abc\left( {a + b + c} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow ab + bc + ac \ge a + b + c\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow A \ge 3\)

Do đó \({A_{\min }} = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1\)