Tính giá trị nhỏ nhất của $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$với a, b, c > 0 và $a + b + c = 3abc$

Từ điều kiện $a + b + c = 3abc \Rightarrow A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{{ab + bc + ac}}{{abc}} = \frac{{3\left( {ab + bc + ac} \right)}}{{a + b + c}}$ (1)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM

$\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {ab + bc + ac} \right)^2} \ge 3abc\left( {a + b + c} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow ab + bc + ac \ge a + b + c\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2)$\Rightarrow A \ge 3$

Do đó ${A_{\min }} = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1$