Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n + 1).

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó ta có:

Gọi a₁ = 1. 2 ⇒ 3.a₁ = 1. 2. 3 ⇒ 3.a₁ = 1. 2. 3 – 0. 1. 2

a₂ = 2. 3 ⇒ 3.a₂ = 2. 3. 3 ⇒ 3.a₂ = 2. 3. 4 – 1. 2. 3

a₃ = 3. 4 ⇒ 3.a₃ = 3. 3. 4 ⇒ 3.a₃ = 3. 4. 5 – 2. 3. 4

…

a_{n – 1} = (n – 1)n ⇒ 3. a_{n – 1} = 3(n – 1)n ⇒ 3.a_{n – 1} = (n – 1)n(n + 1) – (n – 2)(n – 1)n

a_n = n(n + 1) ⇒ 3a_n = 3n(n + 1) ⇒ 3a_n = n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các hằng đẳng thức, ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

⇔ 3A= n(n + 1)(n + 2) ⇒ \(A = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\).

Vậy \(A = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\).