Tìm x, y, z thuộc ℤ thỏa mãn: 3x² + 6y² + z² + 3y².z² − 18x = 6.

Ta có: 3x² + 6y² + z² + 3y².z² − 18x = 6 (1)

<=> 3(x − 3)² + 6y² + z² + 3y².z² = 33 (2)

=> z² ⋮ 3 và z² $\le$ 33

=> z² $\in$ {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33}

Mà z $\in$ ℤ nên z² = 0 và z² = 9

Suy ra z = 0 và |z| = 3

+) TH1: z = 0 => Phương trình (2) trở thành:

(2) <=> 3(x − 3)² + 6y² = 33

<=> (x − 3)² + 2y² = 11

=> 2y² $\le$ 11 => |y| $\le$ 2.

+ Với y = 0 thì (x − 3)² = 11 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại)

+ Với |y| = 1 thì (x − 3)² = 9

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x-3=3\\ x-3=-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=6\\ x=0\end{array}\right.$

+ Với |y| = 2 thì (x − 3)² = 3 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại).

+) TH2: |z| = 3 => Phương trình (2) trở thành:

(2) <=> 3(x − 3)² + 33y² = 24

<=> (x − 3)² + 11y² = 8

=> 11y² $\le$ 8 => y = 0

Với y = 0 thì (x − 3)² = 8 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại)

Vậy bộ nghiệm nguyên (x; y; z) của phương trình là: {(6; 1; 0), (0; 1; 0), (6; −1; 0), (0; −1; 0)}.