Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).

Tìm x, y ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).

Trả lời

Ta có x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).

x3 + x2 + x = 4y2 + 4y.

(x3 + x2) + x + 1 = 4y2 + 4y + 1.

x2(x + 1) + x + 1 = (2y + 1)2.

(x2 + 1)(x + 1) = (2y + 1)2   (*)

Đặt (x2 + 1; x + 1) = d.

(x + 1)(x – 1) – (x2 + 1) d.

x2 – 1 – x2 – 1 d.

–2 d.

Mà vế phải của phương trình (*) là số lẻ nên chỉ xảy ra trường hợp d = ±1.

Do đó (x2 + 1; x + 1) = 1.

Vì vậy x2 + 1 và x + 1 là số chính phương.

Đặt x2 + 1 = a2 (a ℤ).

(a – x)(a + x) = 1.

ax=1a+x=1ax=1a+x=1a=1x=0a=1x=0

x = 0.

Thế x = 0 vào (*), ta được: (2y + 1)2 = 1.

2y+1=12y+1=1y=0y=1

Thử lại, ta thấy (x; y) {(0; 0), (0; –1)} thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vậy (x; y) {(0; 0), (0; –1)}.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả