Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x^2 + 2xy + 7(x + y) + 2y^2 + 10 = 0.
Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0.
Lời giải
Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0
⟺ 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = 0
⟺ (4x2 + 8xy + 28x + 28y + 4y2 + 49) + 4y2 - 9 = 0
⟺ (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9 (*)
Vì (2x + 2y + 7)2 ≥ 0
Nên 4y2 ≤ 9
Suy ra y2 ≤ \(\frac{9}{4}\)
Mà y nguyên nên \({y^2} \in \left\{ {0;1} \right\}\)
Suy ra \(y \in \left\{ {0;1; - 1} \right\}\)
+) Với y = 0, thay vào (*) ta có (2x + 2.0 + 7)2 + 4.0 = 9
Hay (2x + 7)2 = 9
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 7 = 3\\2{\rm{x}} + 7 = - 3\end{array} \right.\)⟹\(\left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = - 2\\{\rm{x}} = - 5\end{array} \right.\)
+) Với y = 1, thay vào (*) ta có (2x + 2.1 + 7)2 + 4.12 = 9
Hay (2x + 9)2 = 5
Suy ra không tìm được x nguyên thỏa mãn.
+) Với y = –1, thay vào (*) ta có (2x – 2.1 + 7)2 + 4. (–1)2 = 9
Hay (2x + 5)2 = 5
Suy ra không tìm được x nguyên thỏa mãn.
Vậy (x; y) = {(-2; 0); (-5; 0)}.