Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

cos 2x − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0

Û 2cos² x − 1 − (2m + 1)cos x + m + 1 = 0

Û 2cos² x − (2m + 1)cos x + m = 0

Û 2cos² x − cos x − 2mcos x + m = 0

Û cos x(2cos x − 1) − m(2cos x − 1) = 0

Û (2cos x − 1)(cos x − m) = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right.$

Để phương trình có nghiệm $x \in \left( {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ thì −1 ≤ cos x < 0.

Hay −1 ≤ m < 0.

Vậy −1 ≤ m < 0 là các giá trị của m thỏa mãn.